Cinema e combinatoria

En matemáticas denominamos combinacións ao conxunto de todas as coleccións diferentes que se poden formar tomando n elementos escollidos entre os m dispoñíbeis. Esas coleccións considéranse diferentes se están formadas por distintos elementos, sen importar a orde dos mesmos. A fórmula que permite calcular o número de combinacións é esta:

Onde n! representa o factorial do número natural n, é dicir, o produto de todos os naturais existentes até chegar a ese n, n incluído: n · (n-1) · (n-2) · ... · 2 · 1. Por exemplo, se consideramos o conxunto formado polos números que van do 1 ao 4, {1, 2, 3, 4}, e quixeramos determinar cantas parellas de dous números podemos construír tomándoos dese conxunto, o cálculo a facer sería:

Os conxuntos diferentes son estes seis: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4} e {3, 4}.

Se a orde dos elementos é relevante, isto é, se queremos determinar todas as coleccións diferentes que se poden formar tomando n elementos escollidos entre os m dispoñíbeis de tal xeito que dúas coleccións serán iguais se -e só se- teñen os mesmos compoñentes colocados da mesma maneira (e en consecuencia {1, 2} será distinto de {2, 1}), falaríamos non de combinacións senón de variacións. A fórmula é esta:

Para determinar cantos números de dúas cifras distintas -sen repetición- poden obterse xogando co 1, 2, 3 e 4 empregamos a fórmula das variacións, non a das combinacións.

Os doce números en cuestión son o 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42 e 43.

Se se permite a repetición de elementos, a cousa cambia:

O total de números de dúas cifras distintas que se poden obter xogando co 1, 2, 3 e 4 é 16 (4 elevado a 2): os mesmos que citei antes máis o 11, 22, 33 e 44.

As permutacións son un caso particular das variacións: son as coleccións diferentes de m elementos tomados entre os m totais, ou sexa, “colléndoos sempre todos”.

No exemplo dos números do 1 ao 4, podemos ordenalos de 24 (4 · 3 · 2 · 1) formas distintas (podemos formar con eles 24 números distintos de 4 cifras).

Hoxe proxéctase no CGAI o filme Autrement la Molussie de Nicolas Rey, adaptación dunha novela visionaria escrita por Günther Anders a comezos dos 30, Die molussische Katakombe, construída cos diálogos entre dous personaxes prisioneiros dun estado fascista. O filme de Rey consta de nove bobinas de 16mm que deben ser proxectadas aleatoriamente: non hai unha orde fixa establecida sobre cal vai primeiro e cal despois, é o proxeccionista quen decide iso en cada sesión. Cada pase de Autrement la Molussie é, pois, dificilmente repetíbel. As contas a facer son as que acabo de recordar; trátase, sen máis, de saber cantas ordenacións diferentes hai desas nove bobinas, que por suposto se proxectan cada unha unha única vez. Permutacións de nove elementos, ou sexa, 9! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362880. 362880 formas de proxectar Autrement la Molussie, que son tamén 362880 experiencias distintas. A do CGAI será só unha delas. Se quixeran poñelas todas na filmoteca a razón dunha versión por día terían arranxada a programación para uns 1800 anos, considerando os períodos de vacacións e o peche dos luns e domingos.

Pensando nisto, e tamén porque onte vin o seu fabuloso remake de Easy Rider, veume á cabeza James Benning. Non é nunca unha extravagancia pensar en James Benning se hai matemáticas de por medio. Cada plano de Ten skies e 13 Lakes ocupa unha bobina completa de 16mm, mais el si acordou unha disposición concreta das secuencias. Cantas opcións tiña? Se a proxección desas bobinas fose aleatoria, como a de Autrement..., cantas sesións diferentes existirían? O factorial de 10 e 13, respectivamente: 3.628.800 para Ten skies e 6.227.020.800 para 13 Lakes, case unha por habitante do planeta Terra. Os 43 planos de trens de RR dan aínda máis medo: o número de permutacións posíbeis é un 6 seguido de 52 ceros. Sesenta mil octillóns. Deses miles de octillóns de potenciais versións de RR James Benning optou por unha. A que elixiu segue a ser, entre as súas películas, a miña favorita.

Martin Pawley